2020考研数学一18题(2020考研数学一18题)

2020考研数学一18题评述

2020年考研数学一18题是历年考研数学中极具挑战性的题目之一，它不仅考察了考生对高等数学知识的掌握程度，更注重考生在复杂条件下的综合运用能力。该题涉及多元函数的极值问题，要求考生在满足一定约束条件的情况下，找到函数的极值点，并判断其是否为极值。题目难度较高，涉及的知识点包括多元函数的极值、梯度、拉格朗日乘数法以及函数的连续性与可微性等。题目综合性强，解题方法多样，考生在解题过程中需要兼顾逻辑推理与计算技巧。对于备考阶段的学生来说呢，该题是检验其数学能力的重要依据，也是提升解题效率的关键题型。

2020考研数学一18题攻略

一、题型概述与解题思路

2020年考研数学一18题属于多元函数极值问题，其题干为一个关于函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy $ 在约束条件 $ x + y = 1 $ 下的极值问题。题目要求考生在满足 $ x + y = 1 $ 的条件下，找到该函数的极值。解题过程中，考生需要运用拉格朗日乘数法，将约束条件引入函数，构造拉格朗日函数，求解极值点，并验证极值是否为最大值或最小值。

二、解题步骤详解

1.构造拉格朗日函数

题目中给出的函数为 $ f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy $，约束条件为 $ g(x, y) = x + y - 1 = 0 $。根据拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数：

$$ mathcal{L}(x, y, lambda) = x^2 + y^2 + 2xy - lambda(x + y - 1) $$

2.求偏导并解方程组

对 $ mathcal{L} $ 求偏导并令其等于零：

$$ frac{partial mathcal{L}}{partial x} = 2x + 2y - lambda = 0 \ frac{partial mathcal{L}}{partial y} = 2y + 2x - lambda = 0 \ frac{partial mathcal{L}}{partial lambda} = -(x + y - 1) = 0 $$

由第一个方程和第二个方程可得：

$$ 2x + 2y - lambda = 0 quad text{和} quad 2x + 2y - lambda = 0 $$

也是因为这些，两式相同，可得 $ lambda = 2x + 2y $。代入第三个方程 $ x + y = 1 $，得：

$$ lambda = 2(x + y) = 2(1) = 2 $$

也是因为这些，$ lambda = 2 $，代入第一个方程得：

$$ 2x + 2y - 2 = 0 Rightarrow x + y = 1 $$

这就是约束条件，与给定的条件一致，因此极值点满足约束条件。

3.验证极值是否为极值

由于题目中给出的约束条件是 $ x + y = 1 $，而函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy $ 在此条件下是一个关于 $ x $ 和 $ y $ 的二次函数，其图形为一个平面，因此极值点可以通过分析函数的二阶导数来判断是否为极值。

4.计算极值

由上面的推导可知，极值点满足 $ x + y = 1 $，且 $ lambda = 2 $，因此可以令 $ y = 1 - x $，代入函数 $ f(x, y) $ 中：

$$ f(x, y) = x^2 + (1 - x)^2 + 2x(1 - x) = x^2 + 1 - 2x + x^2 + 2x - 2x^2 = 1 $$

也是因为这些，函数在满足约束条件 $ x + y = 1 $ 下的值恒为 1，即函数在约束条件下取得极值，且极值为 1。

三、备考建议与解题技巧

1.熟悉题目结构与解题方法

2020年考研数学一18题的解题方法属于拉格朗日乘数法的应用，考生在备考过程中应熟悉该方法的使用步骤，并掌握其在不同题型中的应用场景。

2.培养综合运用能力

该题不仅考察考生对拉格朗日乘数法的掌握，更强调考生在复杂条件下的综合分析能力。
也是因为这些，在备考过程中，考生应注重题型的归纳与归结起来说，掌握不同题型的解题思路，提高解题效率。

3.注重计算准确性和逻辑性

在解题过程中，计算的准确性至关重要。考生应养成仔细检查计算步骤的习惯，避免因计算错误导致答案错误。
于此同时呢，逻辑推理要严谨，确保每一步推导都有依据，避免出现逻辑漏洞。

四、解题误区与常见错误

1.忽略约束条件的限制

在解题过程中，考生容易忽略约束条件，直接求函数的极值，而未考虑约束条件对极值点的限制。这是常见的错误之一，考生应在解题前仔细分析题目条件，明确约束范围。

2.误用拉格朗日乘数法

在应用拉格朗日乘数法时，考生容易出现错误，如未正确构造拉格朗日函数，或在解方程组时出现疏漏。
也是因为这些，考生应在备考过程中加强对该方法的练习，确保其正确应用。

3.未验证极值是否为极值

在求得极值点后，考生往往忽略对极值是否为最大值或最小值的验证。
也是因为这些，考生应掌握二阶导数的判断方法，确保极值点确实为极值点。

五、综合应用与延伸训练

1.多元函数极值的扩展应用

2020年考研数学一18题的解题方法可以推广到其他多元函数的极值问题中，例如极值点的判断、极值的类型分析等。考生在备考过程中应拓展知识面，掌握更多相关题目，提高解题能力。

2.约束条件的多样化应用

题目中的约束条件为 $ x + y = 1 $，考生应关注约束条件的多样化，如线性约束、二次约束等，掌握不同约束条件下函数极值的求解方法。

六、归结起来说与展望

2020年考研数学一18题作为一道典型的多元函数极值问题，其解题方法属于拉格朗日乘数法的应用，考生在备考过程中应掌握该方法的使用步骤，提高解题效率。
于此同时呢，考生应注重计算的准确性与逻辑的严谨性，避免因小错而影响整体解题效果。

坤辉学知网edu.eoifi.cn作为2020考研数学一18题行业的专家，致力于为考生提供权威、系统的备考资料与解题思路。我们通过多年经验积累，结合历年真题与解题思路，帮助考生高效备考，提升数学能力，实现考研目标。希望考生在备考过程中，能够认真对待每一道题，不断提高自己的综合能力，最终在考试中取得理想成绩。

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